Par rapport à quoi mesure-t-on une altitude ?

Avant de commencer — de quoi parle cet article ?

Le Mont Blanc culmine à 4 805,59 m. Ce chiffre est publié au centimètre près. Mais au-dessus de quoi, exactement ? Pas du centre de la Terre. Pas d'un plan. Pas d'une sphère. La réponse est plus étrange que les trois, et elle est mesurée.

Une altitude n'est pas une longueur qu'on lit sur une règle. C'est une différence, accumulée de proche en proche depuis un point choisi par convention — et ce point est le niveau moyen de la mer, prolongé sous les continents par une surface qui n'a de nom que depuis 1873 : le géoïdeGéoïdeL'équipotentielle de référence du champ de pesanteur, choisie pour coïncider au mieux avec le niveau moyen des mers. C'est le « zéro » réel des altitudes. Il s'écarte de l'ellipsoïde mathématique de −106 m à +85 m selon les régions, parce que la répartition des masses n'est pas uniforme. Voir Par rapport à quoi mesure-t-on une altitude ?..

Cet article expose cinq méthodes de mesure des dénivelésDéniveléDifférence d'altitude entre deux points. À ne pas confondre avec l'altitude elle-même, qui est un dénivelé compté depuis une origine conventionnelle., dans l'ordre de ce qu'elles supposent. La première ne suppose rien du tout. La dernière suppose beaucoup. Entre les deux, on verra où et comment un modèle de la Terre s'invite dans le calcul — et à quel moment précis.

Aucun prérequis. Les termes techniques sont expliqués au fil du texte. Les chiffres avancés sont recalculés ici et vérifiables ; les sources sont datées en fin d'article.

01 La vraie question n'est pas « combien », c'est « à partir de quoi »

Demandez l'altitude d'un lieu et vous obtiendrez un nombre. Demandez d'où il est compté, et la discussion devient beaucoup plus intéressante.

Trois réponses viennent spontanément. Toutes les trois sont fausses.

« Depuis le centre de la Terre. » Non. Le rayon terrestre varie de 21 km entre l'équateur et les pôles. Si l'altitude était une distance au centre, le sommet du Chimborazo en Équateur — à 6 263 m d'altitude, mais posé sur le renflement équatorial — serait le point le plus haut du globe, loin devant l'Everest. Ce n'est pas ainsi qu'on compte, et ce n'est pas ainsi qu'on mesure.

« Depuis un plan horizontal de référence. » Non plus, et pour une raison expérimentale : l'horizontale n'est pas la même partout. Elle est définie en chaque point par le fil à plomb, c'est-à-dire par la direction locale de la pesanteur. Or cette direction est déviée par le relief et par les densités du sous-sol. Nous verrons plus loin que cette déviation a été mesurée pour la première fois en 1774, et qu'elle atteint plusieurs secondes d'arc au pied d'une montagne.

« Depuis une sphère de référence. » Non plus. Une sphère est une figure géométrique ; le zéro des altitudes est une surface physique, définie par une propriété de la pesanteur et non par une équation de forme.

La surface qui prolonge ce niveau moyen sous les continents s'appelle le géoïde. Sa définition physique est simple, et il faut la lire lentement :

Le géoïde est la surface, passant par le niveau moyen des mers, en tout point de laquelle le fil à plomb est perpendiculaire.

Autrement dit : posez un niveau à bulle n'importe où sur cette surface, il indiquera l'horizontale. C'est une surface d'équilibre — une surface équipotentielleÉquipotentielleSurface le long de laquelle un objet ne monte ni ne descend : en tout point, elle est perpendiculaire au fil à plomb. La surface d'une eau calme en est une. Conséquence pratique : une équipotentielle épouse la forme de la Terre au lieu de la révéler, ce qui rend tout instrument recalé sur elle aveugle à cette forme. Voir Mesurer la courbure sur l'eau. de la pesanteur. Un liquide au repos épouse toujours une telle surface ; c'est même la définition opératoire du repos.

Cette surface n'est ni un plan, ni une sphère, ni un ellipsoïde. Elle est bosselée : elle s'écarte de l'ellipsoïde de référenceEllipsoïde de référenceSurface mathématique lisse — une sphère légèrement aplatie aux pôles — utilisée comme approximation calculable de la Terre. Le GPS donne des hauteurs par rapport à lui, pas par rapport au géoïde ; l'écart entre les deux se corrige par un modèle. de +85 m au large de l'Islande et de −106 m au sud de l'Inde. Ces écarts sont mesurés, cartographiés, et publiés dans les modèles de champ de pesanteur.

Ce schéma contient tout le problème. Un récepteur GNSS de randonnée affiche une hauteur au-dessus de l'ellipsoïde ; les cartes affichent une altitude au-dessus du géoïde. En France, l'écart entre les deux vaut entre 44 et 55 m. Un GPS de voiture qui annonce « altitude 200 m » là où la carte dit 150 m n'est pas en panne : il ne mesure pas la même chose.

02 Le nivellement direct — la méthode qui ne suppose rien

C'est la méthode de référence, celle dont sortent les altitudes officielles. Elle est aussi, et de très loin, la plus rudimentaire.

Le dispositif. Un niveau — une lunette dont l'axe de visée est rendu horizontal par une bulle ou un compensateur. Deux mires graduées, tenues verticalement par un fil à plomb, l'une en arrière, l'autre en avant. L'opérateur lit la graduation sur chaque mire. La différence des deux lectures donne la dénivelée entre les deux points. On avance, et on recommence.

Voici ce qu'il faut remarquer, et c'est le point central de cette section. Aucune forme de Terre n'intervient dans cette mesure. Pas de rayon, pas de courbure, pas de coordonnées, pas de datumDatumEnsemble des conventions qui fixent l'origine et l'orientation d'un système de coordonnées : quel point est le zéro, quel ellipsoïde, quelle orientation des axes. Deux mesures exprimées dans des datums différents ne sont pas directement comparables., pas même une distance. Deux lectures et une soustraction.

La méthode est purement locale et purement différentielle. Elle ne dit rien de la position absolue des points ; elle dit seulement de combien l'un est plus haut que l'autre, au sens de la pesanteur. Et « plus haut au sens de la pesanteur » est précisément ce que définit la bulle du niveau : la visée est perpendiculaire au fil à plomb local.

C'est en accumulant ces pas élémentaires, l'un après l'autre, sur des milliers de kilomètres, qu'on construit un réseau d'altitudes.

La précision de cette accumulation est remarquable. Sur un cheminement de haute précision, l'erreur admissible en France est de l'ordre de 2 mm par racine carrée de kilomètre parcouru. Sur 100 km, cela fait 2 cm. Sur 1 000 km, 6 cm.

Et c'est ici qu'apparaît la seule subtilité de la méthode. Si l'on fait une boucle — partir d'un repère, cheminer sur plusieurs centaines de kilomètres, et revenir au même repère — la somme des dénivelées ne revient pas exactement à zéro, même en supposant les lectures parfaites.

La raison n'est pas une erreur de mesure. C'est que la pesanteur n'a pas la même intensité partout. Les surfaces équipotentielles ne sont pas parallèles entre elles : elles se resserrent là où la pesanteur est plus forte, vers les pôles. Un mètre de dénivelée mesuré à Dunkerque ne représente pas exactement la même différence d'énergie qu'un mètre mesuré à Perpignan.

Cette non-fermeture est un fait mesuré, pas une correction théorique. Elle impose de convertir les dénivelées brutes en altitudes normales, en tenant compte de la pesanteur observée le long du parcours. Le réseau ne ferme qu'à cette condition — et le fait qu'il ferme alors est une vérification interne du système.

03 Le baromètre — Pascal au Puy de Dôme, 1648

La deuxième méthode repose sur un fait que l'on peut vérifier soi-même en une journée : la pression atmosphérique diminue quand on monte. Si l'on connaît la loi de cette décroissance, mesurer la pression revient à mesurer l'altitude.

Cette loi n'a pas été postulée. Elle a été établie par une expérience, et l'histoire mérite d'être racontée précisément parce qu'elle est souvent mal rapportée.

Blaise Pascal (1623-1662), mathématicien et physicien français, soupçonne en 1647 que la colonne de mercure d'un baromètre est soutenue par le poids de l'air. Si c'est vrai, elle doit être plus courte en altitude, où il y a moins d'air au-dessus. Pascal, de santé fragile, ne peut pas gravir lui-même une montagne. Il écrit à son beau-frère Florin Périer, conseiller à la Cour des aides de Clermont, et lui décrit le protocole.

Le 19 septembre 1648, Périer exécute l'expérience. Il commence par un contrôle que peu de récits mentionnent, et qui est pourtant l'élément décisif : il installe un premier baromètre dans le jardin des Minimes à Clermont, et charge un religieux de le surveiller toute la journée pour vérifier qu'il ne bouge pas. Puis il monte au sommet du Puy de Dôme avec un second baromètre, préalablement comparé au premier.

Le contrôle au pied de la montagne est ce qui transforme une observation en expérience. Sans lui, un sceptique aurait pu objecter que la pression avait simplement changé dans la journée. Périer a fermé cette porte avant de partir.

La méthode a une limite structurelle, et il faut la dire : la pression ne dépend pas seulement de l'altitude. Elle dépend aussi de la température de la colonne d'air, de l'humidité, et surtout de la situation météorologique. Un anticyclone et une dépression peuvent différer de 60 hPa, ce qui correspond à plus de 500 m d'erreur si l'on ne corrige pas.

Le nivellement barométrique est donc une méthode d'exploration, pas de précision. C'est celle qu'ont employée les voyageurs du XIX^e siècle. Alexander von Humboldt (1769-1859), naturaliste prussien, mesure ainsi les altitudes andines lors de son expédition de 1799-1804, en combinant baromètre et hypsomètre — un instrument qui déduit la pression de la température d'ébullition de l'eau, laquelle chute d'environ 1 °C par 285 m de dénivelé.

C'est aussi le principe de l'altimètre de tout aéronef : un baromètre gradué en pieds, recalé au sol sur la pression du moment.

04 Le nivellement trigonométrique — le moment où la courbure entre dans le calcul

Le nivellement direct exige d'avancer pas à pas. En haute montagne, c'est impossible : on ne fait pas cheminer une équipe avec des mires jusqu'au sommet de l'Everest. Il faut viser de loin.

Le principe. Depuis un point dont on connaît l'altitude, on vise le sommet avec un théodolite et on mesure la distance zénithale — l'angle entre la verticale locale et la ligne de visée. Si l'on connaît par ailleurs la distance horizontale, la trigonométrie donne la dénivelée.

Sur une courte portée, c'est immédiat. Sur une longue portée, la formule élémentaire devient fausse, et la façon dont elle devient fausse est instructive.

La formule complète est :

h = D · cot(z) + (1 − k) · D² / (2R)

Le premier terme est la trigonométrie élémentaire. Le second contient deux effets qui se compensent partiellement :

• La courbure de la surface de niveau, qui s'éloigne de la visée horizontale au fur et à mesure qu'on s'écarte — terme D²/(2R).
• La réfraction atmosphériqueRéfraction atmosphériqueDéviation de la lumière due aux variations de densité de l'air. Augmente la portée visuelle de 7 à 14%. Voir L'horizon, la perspective et la réfraction., qui incurve le rayon lumineux vers le bas et rapproche donc la cible — terme −k·D²/(2R), avec un coefficient k voisin de 0,13 en conditions moyennes.

Il faut le dire nettement, car c'est le point d'honnêteté de cette section : c'est ici, et seulement ici parmi les quatre premières méthodes, qu'un rayon terrestre R entre explicitement dans le calcul. Le nivellement trigonométrique n'est pas une méthode neutre. Elle suppose une valeur de R, et le résultat en dépend.

La contrepartie est qu'elle est vérifiable : on peut mesurer le même dénivelé par nivellement direct — qui, lui, ne suppose rien — et comparer. C'est exactement ce qu'ont fait les grandes campagnes géodésiques.

La plus vaste est le Great Trigonometrical Survey de l'Inde, commencé en 1802 par William Lambton (1753-1823), officier britannique, et poursuivi à partir de 1823 par George Everest (1790-1866). L'objectif initial était cartographique, mais la chaîne de triangles remonta jusqu'au piémont himalayen, d'où les sommets furent visés à plus de 150 km de distance.

En 1856, le successeur d'Everest, Andrew Waugh, annonce que le sommet catalogué « Peak XV » culmine à 29 002 pieds, soit 8 840 m. La valeur retenue aujourd'hui est de 8 848,86 m — mesure sino-népalaise conjointe de 2020, combinant GNSS et nivellement. L'écart avec la mesure de 1856 est de 9 m, soit un dixième de pour cent, obtenu par des visées angulaires depuis la plaine à plus de 150 km.

05 La hauteur cachée — pourquoi une photo ne mesure pas un sommet

Une objection revient dès qu'on parle d'altitude, et elle est juste : on photographie le Canigou depuis la région de Marseille, à 253 km. Le sommet est là, visible, photographié des dizaines de fois. Est-ce que cela prouve quelque chose sur sa hauteur ?

Non. Une photographie montre qu'un objet est visible. Elle ne donne ni sa hauteur, ni sa distance, ni la portion de lui-même qui reste masquée. Ce sont trois grandeurs distinctes, et il en faut deux, mesurées indépendamment, pour obtenir la troisième.

Mais l'exercice reste intéressant, parce que le modèle sphérique fait ici une prédiction précise et falsifiable. Depuis un œil placé à la hauteur h₀, la ligne de visée rase la surface à la distance √(2·R_e·h₀), puis remonte. Tout ce qui se trouve au-delà voit sa base masquée d'une hauteur

c = (D − √(2·R_e·h₀))² / (2·R_e)

où R_e = R / (1 − k) est le rayon corrigé de la réfraction — environ 7 323 km pour k = 0,13, au lieu de 6 371 km. La réfraction agrandit le rayon apparent, donc elle réduit la hauteur masquée : elle fait voir plus loin.

Lisez la colonne de droite : c'est elle qui porte tout le raisonnement.

Depuis une plage, l'œil à 1,70 m, le modèle dit que le Canigou est entièrement masqué, et qu'il faudrait un coefficient de réfractionCoefficient de réfraction (k)Nombre sans unité mesurant de combien l'atmosphère incurve un rayon lumineux rasant. Au-dessus de l'eau il vaut environ 0,10 le jour, 0,13 en moyenne et 0,34 la nuit (Hirt et al., 2010) ; au-delà de 1 il y a mirage supérieur. Il agit par le facteur (1 − k) : il réduit l'effet observé d'un pourcentage, il ne l'annule pas. Voir Mesurer la courbure sur l'eau. de 0,42 pour en apercevoir le sommet — soit trois fois la valeur moyenne, un régime de superréfraction rare mais réel au-dessus d'une mer plus chaude que l'air. Depuis Notre-Dame de la Garde, à 160 m, il ne faut plus que 0,15 — à peine au-dessus de l'ordinaire. Depuis une hauteur de 300 m, 0,02 suffit : le sommet est visible presque tous les jours clairs.

Et c'est exactement ce que l'on constate. Les photographies du Canigou depuis la Provence sont prises depuis des points élevés, et les rares prises de vue au niveau de la mer correspondent à des épisodes de superréfraction hivernale documentés. Le modèle ne se contente pas d'être compatible avec l'observation : il prédit la hauteur d'œil à partir de laquelle elle devient banale.

Ce tableau se lit donc dans les deux sens, et c'est ce qui en fait un test plutôt qu'une illustration. Une photographie prise à 1,70 m au-dessus de l'eau, montrant la base du Canigou à 253 km par conditions atmosphériques ordinaires, contredirait directement la prédiction. Elle serait un résultat de première importance — à condition d'être accompagnée des trois nombres qui la rendent interprétable : la distance, la hauteur exacte de l'objectif au-dessus de l'eau, et les conditions de température air-mer du moment.

C'est là le véritable enseignement de cette section. Une observation à longue distance ne mesure pas une altitude ; elle teste une prédiction d'occultation. Les deux sont utiles, mais ne répondent pas à la même question, et les confondre fait perdre le bénéfice des deux.

Deux précautions avant d'emporter ce tableau sur le terrain. La réfraction y est prise à sa valeur moyenne k = 0,13 ; au-dessus d'une mer plus chaude que l'air elle grimpe, et en régime de mirage supérieur elle peut dépasser 1, ce qui rend le calcul inapplicable — d'où l'obligation de noter les conditions. Et rappelons le point de la section 01 : l'altitude d'un sommet n'est pas sa hauteur au-dessus de son propre pied. Le Canigou culmine à 2 785 m au-dessus du zéro de Marseille, pas au-dessus de la plaine du Roussillon qui se trouve déjà à quelques dizaines de mètres.

06 La gravimétrie — Schiehallion 1774, ou la découverte que l'horizontale bouge

Les trois méthodes précédentes reposent toutes, à un moment ou à un autre, sur la verticale locale : le fil à plomb du niveau, la colonne de mercure, l'axe du théodolite. Il reste donc une question à poser, et elle est redoutable.

La verticale locale pointe-t-elle toujours dans la même direction relative ?

La réponse est non, et elle a été mesurée en 1774, en Écosse, par une expérience qui visait tout autre chose.

Nevil Maskelyne (1732-1811), astronome royal britannique, cherche à « peser la Terre ». Le raisonnement est le suivant : si une montagne possède une masse, elle doit attirer latéralement un fil à plomb placé à son pied. En mesurant cette déviation de part et d'autre du massif, et en connaissant le volume et la densité de la montagne, on peut remonter à la densité moyenne du globe.

Le mont Schiehallion, en Perthshire, est choisi pour sa forme régulière et son isolement. Maskelyne y installe un observatoire de part et d'autre du sommet et détermine la latitude astronomique de chaque station — c'est-à-dire la direction de la verticale par rapport aux étoiles. Il compare ensuite à la différence de latitude obtenue par arpentage direct entre les deux stations.

Le calcul du volume du massif fut confié à Charles Hutton, qui publia son résultat en 1778. Pour organiser les milliers de cotes d'altitude relevées, Hutton inventa un procédé de représentation appelé à un grand avenir : joindre par un trait les points de même hauteur. Les courbes de niveau sont nées d'une expérience de gravimétrie.

Ce que Schiehallion établit dépasse la mesure de la densité terrestre. Il établit que :

• La direction de la pesanteur dépend de la répartition locale des masses. Une montagne, un bassin sédimentaire, une anomalie de densité en profondeur dévient tous le fil à plomb.
• Par conséquent, la surface « horizontale » n'est pas une figure géométrique simple. Elle est bosselée, exactement comme les masses qui la déterminent.

C'est de là que vient la nécessité du géoïde. Une surface définie comme « perpendiculaire au fil à plomb en tout point » ne peut pas être une sphère si le fil à plomb bouge — elle épouse nécessairement les irrégularités du champ de pesanteur.

L'intensité de la pesanteur varie elle aussi, et de façon mesurable :

Ces variations sont cartographiées depuis le XIX^e siècle au pendule, puis au gravimètre à ressort, et rassemblées à l'échelle mondiale dans le réseau IGSN71 — International Gravity Standardization Net, publié en 1974 sur la base de mesures conduites dans les années 1950 et 1960.

C'est ce champ de pesanteur mesuré, et non un modèle de forme, qui définit le zéro des altitudes.

07 L'altimétrie spatiale — 80 % des terres émergées en onze jours

La cinquième méthode inverse le point de vue : au lieu de mesurer depuis le sol, on mesure depuis au-dessus.

Le principe. Un instrument émet une impulsion — radar ou laser — vers le sol et chronomètre son retour. Le temps de vol donne la distance à la surface. Si l'on connaît la position de l'instrument, on en déduit l'altitude du point visé.

La campagne la plus spectaculaire est la mission SRTM. Du 11 au 22 février 2000, la navette spatiale Endeavour déploie un mât de 60 m portant une seconde antenne radar. Les deux antennes observent le sol simultanément sous des angles légèrement différents : c'est de l'interférométrie radar, et la différence de phase entre les deux signaux donne le relief.

Les missions laser ont pris le relais avec une précision supérieure. ICESat (2003-2010) puis ICESat-2 (depuis 2018) mesurent l'altitude des calottes glaciaires à quelques centimètres près, en comptant les photons individuels du retour laser. GEDI, installé sur la Station spatiale internationale depuis 2018, applique le même principe à la canopée forestière.

Et il faut poser la limite de cette méthode, parce qu'elle est réelle. Le satellite ne mesure pas une altitude : il mesure une distance à lui-même. Pour convertir cette distance en altitude, il faut connaître sa propre position — laquelle est calculée dans un repère qui suppose déjà un modèle de Terre et un champ de pesanteur. Puis il faut convertir la hauteur ellipsoïdale obtenue en altitude au-dessus du géoïde, ce qui suppose un modèle de géoïde comme EGM2008.

L'altimétrie spatiale est donc, des cinq méthodes exposées ici, la plus dépendante d'un modèle préalable. C'est aussi la seule qui couvre la planète entière. Les deux choses vont ensemble : on ne peut pas mesurer globalement sans un cadre global, et un cadre global est nécessairement un modèle.

08 Cinq méthodes, cinq physiques, un même résultat

Reprenons les cinq méthodes dans l'ordre de ce qu'elles supposent. C'est la seule classification qui compte pour juger d'une mesure : non pas sa précision affichée, mais ce qu'il faut admettre avant de pouvoir l'interpréter.

Ces cinq méthodes ne partagent presque rien. Une bulle d'air dans un tube d'alcool. Une colonne de mercure. Un cercle gradué et une lunette. Un ressort qui s'allonge. Un photon qui revient. Elles ont été mises au point à des siècles d'écart, par des gens qui ne se connaissaient pas, pour des raisons différentes.

Et elles donnent les mêmes altitudes, dans leurs marges d'erreur respectives.

C'est le fait brut de cet article, et il n'a pas besoin d'être commenté pour être remarquable. Le Puy de Dôme culmine à 1 465 m que l'on y monte avec un baromètre, qu'on le vise au théodolite depuis la plaine, qu'on y chemine avec des mires, ou qu'on le survole en radar. Quand un désaccord apparaît, il s'est jusqu'ici expliqué par une correction identifiable — la météo pour le baromètre, la réfraction pour le théodolite, l'ondulation du géoïde pour le GNSS — et jamais par une révision du résultat.

Il faut mesurer ce que cette convergence établit, et ce qu'elle n'établit pas.

Ce qu'elle établit. Que les altitudes publiées ne reposent pas sur une seule chaîne de mesure. Si l'une des cinq méthodes était biaisée, les quatre autres le montreraient. C'est une redondance réelle, pas déclarative.

Ce qu'elle n'établit pas. Que le nivellement direct, à lui seul, dise quoi que ce soit sur la forme globale de la Terre. Il ne le peut pas : c'est précisément sa force et sa limite. Une méthode qui ne suppose rien ne peut rien conclure au-delà de ce qu'elle mesure — une différence de hauteur entre deux points voisins, au sens de la pesanteur locale.

Une dernière remarque, qui sort du champ de la mesure et relève de la manière de raisonner.

La méthode la plus fiable de ce corpus — le nivellement direct, à 2 mm par racine de kilomètre — est aussi la plus modeste dans ses prétentions. Elle ne prétend rien savoir de la Terre. Elle compare deux points voisins et avance. C'est en accumulant 400 000 fois cette humilité qu'on obtient le réseau altimétrique d'un pays.

Inversement, la méthode qui embrasse la planète entière en onze jours est celle qui suppose le plus. Ce n'est pas un défaut, c'est le prix de la portée. Mais c'est une chose à savoir quand on lit un chiffre.

Ce que cette convergence établit, et ce qu'elle n'établit pas

Une précision s'impose ici, parce qu'elle travaille dans les deux sens et que son absence rendrait la section précédente ambiguë.

Ce que la convergence établit est réel et solide : le géoïde est bien déterminé. Cinq physiques indépendantes s'accordent sur la position de la surface de référence, à leurs marges d'erreur près. Ce n'est pas rien — c'est même l'un des résultats métrologiques les mieux étayés qui soient.

Ce qu'elle n'établit pas, en revanche : la forme globale de cette surface. Les cinq méthodes ne sont pas indépendantes sur ce point, parce qu'elles sont toutes rattachées au même zéro — celui du marégraphe de Marseille pour la France. Elles s'accordent sur une altitude comptée à partir d'une origine commune ; leur accord ne dit rien sur la géométrie d'ensemble de cette origine. C'est une convergence interne au système, et c'est déjà beaucoup, mais ce n'est pas ce qu'on lui fait parfois dire.

La forme d'une surface est une propriété à grande échelle. Elle se mesure par des dispositifs qui enjambent de grandes distances d'un seul tenant — c'est l'objet d'un autre article, Mesurer la courbure sur l'eau, et de la campagne pré-enregistrée qu'il décrit.

09 Sources

1. Girard, A. (1629). Invention nouvelle en l'algèbre. Amsterdam : Guillaume Iansson Blaeuw. — Théorème de l'excès sphériqueExcès sphériqueQuantité dont la somme des angles d'un triangle tracé sur une sphère dépasse 180°. Elle vaut ε = A/R², où A est l'aire du triangle (théorème de Girard, 1629) : 2″ pour un triangle de 30 km de côté, 29,5″ pour 100 km. C'est le seul observable décisif entièrement local. : ε = S / R².
2. Pascal, B. (1648). Récit de la grande expérience de l'équilibre des liqueurs. Paris : Charles Savreux. — Relation de l'expérience du Puy de Dôme conduite par Florin Périer le 19 septembre 1648.
3. Picard, J. (1671). Mesure de la Terre. Paris : Imprimerie Royale. — Première triangulation française avec lunettes à réticule ; triangles de 20 à 40 km.
4. Maskelyne, N. (1775). « An Account of Observations Made on the Mountain Schehallien for Finding Its Attraction ». Philosophical Transactions of the Royal Society, 65, 500-542. — Déviation mesurée du fil à plomb : 11,6″.
5. Hutton, C. (1778). « An Account of the Calculations Made from the Survey and Measures Taken at Schehallien ». Philosophical Transactions of the Royal Society, 68, 689-788. — Calcul du volume du massif ; introduction des courbes de niveau.
6. Legendre, A.-M. (1787). « Mémoire sur les opérations trigonométriques dont les résultats dépendent de la figure de la Terre ». Mémoires de l'Académie royale des sciences. — Théorème de Legendre : traiter un triangle sphérique comme un triangle plan en retranchant ε/3 à chacun des trois angles.
7. Gauss, C. F. (1828). Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona. Göttingen : Vandenhoeck und Ruprecht. — Triangulation du royaume de Hanovre, 1821-1825 ; usage de l'héliotrope.
8. Bourdaloue, P.-A. (1864). Nivellement général de la France. Paris. — Première campagne de nivellement de précision du territoire français, 1857-1864.
9. Lallemand, C. (1912). Nivellement de haute précision. Paris : Béranger. — Méthode du réseau NGF-Lallemand.
10. Morelli, C. et al. (1974). The International Gravity Standardization Net 1971 (IGSN71). Publication spéciale n° 4 de l'Association internationale de géodésie.
11. Farr, T. G. et al. (2007). « The Shuttle Radar Topography Mission ». Reviews of Geophysics, 45, RG2004. DOI : 10.1029/2005RG000183. — Mission STS-99, 11-22 février 2000 ; couverture, précision et traitement.
12. Pavlis, N. K. et al. (2012). « The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008) ». Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 117, B04406. DOI : 10.1029/2011JB008916. — Modèle de géoïde de référence.
13. Markus, T. et al. (2017). « The Ice, Cloud, and land Elevation Satellite-2 (ICESat-2): Science requirements, concept, and implementation ». Remote Sensing of Environment, 190, 260-273.
14. Dubayah, R. et al. (2020). « The Global Ecosystem Dynamics Investigation: High-resolution laser ranging of the Earth's forests and topography ». Science of Remote Sensing, 1, 100002.
15. Institut national de l'information géographique et forestière (IGN). Le réseau de nivellement français — NGF-IGN69. Documentation technique, consultée en 2026. — Origine au marégraphe de Marseille ; tolérances des cheminements.
16. Département de l'Enquête, Népal, et Ministère des Ressources naturelles, Chine (2020). Communiqué conjoint sur la hauteur de l'Everest, 8 décembre 2020. — Valeur retenue : 8 848,86 m.

Note sur les chiffres. Les valeurs numériques avancées dans cet article — chute barométrique attendue au Puy de Dôme, terme correctif du nivellement trigonométrique, variations de la pesanteur avec la latitude et l'altitude — ont été recalculées pour cet article à partir des formules citées, et non reprises d'une source secondaire. Elles sont reproductibles avec l'atmosphère standard OACI et la formule de pesanteur normale.